La ce folosesc integralele?

Într-un articol intitulat sugestiv „Batman, caut Gotham. Rog seriozitate”, Daniel Funeriu încearcă să ne explice de ce integralele l-au făcut maestru în kung-fu și de ce lectura lui Ion te poate face să transcezi universul material și să atingi Nirvana. Cred că explicațiile lui, încărcate cu prea multă siguranță de sine, nu vor reuși să-i convingă pe prea mulți, poate pentru că siguranța respectivă arată mai mult a aroganță decât a echilibru interior.

Dar cred că întrebarea din titlu își merită un răspuns. O să încerc să ofer eu unul, altul decât esența a ceea ce zice și Daniel Funeriu: dacă nu v-au folosit vouă nu înseamnă că nu le-au folosit altora, care au luat-o în fața voastră.

Integralele parcă le-am învățat în clasa a XII-a, ultima parte din Analiza Matematică, practic cea mai avansată formă de matematică studiată în liceu. Nu e un concept simplu – dar în cele din urmă, e vorba despre aplicarea unor formule care sunt memorate – dacă țin bine minte sunt undeva în jurul a 15 formule, mare parte ușor de reținut, pentru că sunt inversul formulelor derivării.

Și sunt de acord, în clasa a XII-a e greu să le explici lucruri noi unor copii care se pregătesc vreme de un an pentru Bac – bacalaureatul e stresant, dificil, pentru că depind de el incalculabil de multe lucruri, inclusiv faptul că Ministerul Educației a decis că rezultatul acelui examen ți-e legat de gât pe viață, un stigmat permanent((ca și cantitate de materie, nu, Bacalaureatul e deloc impresionant, toate materiile la un loc sunt, ca volum, comparabile cu o singură materie mai serioasă din primul semestru de facultate)). Mulți dintre elevi decid să învețe pe de rost, bazându-se pe memorie unde ar fi trebuit să se bazeze pe logică.

Ce sunt integralele? În principiu, te ajută să calculezi ariile/volumele diverselor obiecte. Lucru care poate fi util – primești practic explicația de ce aria cercului e πR², sau care e logica din spatele multor formule de la fizică (nu mai știu dacă și la chimie). Cu înțelegerea integralelor, nu mai există explicații gen „o să înțelegeți mai târziu de ce lucrurile stau așa” – revizitând materia veche ar trebui să nu mai existe enigme, și câmpul matematicii, atât cât e dezvăluit până în liceu. Și îmi dau seama că lucrul ăsta nu vă satisface.

E destul de clar de ce e util oricui urmează facultăți tehnice, sau intră în câmpul tehnic. Pentru ceilalți însă e inutil, așa-i? Da și nu.

Mai toată matematica predată în liceu se concentrează pe exerciții. Există un mănunchi (destul de serios) de teorie, după care se petrece aproape inuman de mult rezolvând exerciții. Chiar dacă nu te impresionează faptul că poți calcula o arie sau un volum, chiar dacă nu vezi în mod direct aplicările sumelor Riemann, cea mai mare parte din timp o vei petrece rezolvând exercițiile. Și exercițiile respective pot fi simple sau complicate dar în principiu urmăresc câteva obiective: aplicarea unor substituții și transformări pentru a aduce lucrurile într-o formă în care poți aplica uneltele pe care le stăpânești, combinarea a mai multe unelte pentru a rezolva o problemă exprimată într-un limbaj standardizat, verificarea rezultatului.

Dincolo de investigația necesară pentru a identifica substituțiile și transformările necesare ai nevoia de a identifica uneltele pe care le poți aplica pentru a rezolva o problemă. Observați că nu am zis nimic despre natura problemei; că raționamente similare sunt utile în mai multe câmpuri, nu doar matematică. Ai o muncă de investigație, reducere într-o formă în care poți aplica raționamente deja cunoscute, rezolvare, verificare. Eșuezi când aplici unealta nepotrivită pentru problemă, dar ai mai multe căi de a rezolva problema.

Un om care stăpânește un aparat matematic complex nu va avea probleme să aplice mecanismele de gândire pe un aparat mai puțin complex. Nu e esențial să știi cum se calculează $latex \int_{a}^{b}sin(2*x) dx$ – e mai important să înțelegi cam cum abordezi o problemă extraterestră precum cea prezentată mai sus. Și dacă ai uneltele, cum le aplici.

Pentru mine adevăratul declic, adevărata schimbare de mentalitate, a fost momentul în care am înțeles ce sunt derivatele, ce înseamnă să cobori cu calculele în infinitul mic; momentul acela când îți dai seama că există informație utilă și acolo unde ți se pare că e prea puțină pentru a părea ceva relevant. Că odată ce te apropii, s-ar putea să vezi detalii interesante. Mi-aș fi dorit să am revelații similare studiind filosofia, însă, tot materie făcută în clasa a XII-a, chiar și profesoara nu mai știa cum să scape de noi și să scăpăm mai repede de ea.

Nu ți-au folosit niciodată lucrurile pe care le-ai învățat la școală? Poate că da, dar ai practic o avere extraordinară pe care nu ai știut s-o folosești în viață. Îmi pare rău pentru tine.

TL;DR: matematica din liceu te ajută să construiești raționamente, să transformi un enunț cu niște unelte standardizate pentru a extrage informațiile corecte. E un exercițiu mental pe care nu prea îl facem în afara școlii, dar cei care și-l însușesc ar putea să aibă un avantaj, chiar dacă nu vor fi folosi acele unelte în mod direct; modul de gândire, mecanismul rămâne. Mi-aș dori ca lucruri similare să-mi fi rămas și din limba și literatura română sau filosofie, dar dezinteresul profesorilor și programa anti-elev au făcut lucrul ăsta imposibil.